Имеет ли право работодатель отправить меня "отдохнуть на неделю"? При этом он не отдаёт трудовую книжку и не платит зарплату.

Работодатель не может по своей инициативе, в одностороннем порядке, выгнать работника в отпуск. Это произвол, и вы имеете право подать на него в суд.
Отпуск за свой счёт работник берет по своему желанию, а не тогда, когда работодатель вынуждает его это делать.
А обычный (очередной) отпуск должен оплачиваться и не может быть короче двух недель.