Могу ли я дать своему новорождённому сыну фамилию своего гражданского мужа, но в графе "отец" оставить прочерк?

В случае, если мать не состоит в браке с отцом ребенка и отцовство в отношении ребенка не установлено, имя ребенка записывается по желанию матери, отчество - по имени лица, указанного в записи акта о рождении в качестве отца ребенка, фамилия ребенка - по фамилии матери.
В случае, если по желанию матери, не состоящей в браке с отцом ребенка, сведения об отце ребенка не вносятся в запись акта о рождении, отчество ребенка записывается по указанию матери (п. 5 статьи 18ФЗ от 15.11.1997 №143-Ф3 «Об актах гражданского состояния» и п. 3 статьи 51 Семейного кодекса РФ).

Имею ли я право одна, без мужа и без его паспорта, но имея свидетельство о браке, зарегистрировать в ЗАГСе ребенка?

Согласно п.1 статьи 51 Семейного кодекса РФ Вы имеете законное право обратиться в органы ЗАГСа с заявлением самостоятельно. Поскольку права и обязанности родителей и детей основываются на происхождении детей, удостоверенном в установленном законом порядке, это не ограничивает права ребенка.

Чтобы жениться на любимой девушке, я должен предоставить её родителям справку о том, что я не женат - только на таком условии они согласны на наш брак. Я никогда не был женат. Подскажите, где я могу получить такую справку?

Учитывая тот факт, что лица, вступающие в брак, для регистрации заключения брака могут выбрать любой ЗАГС на территории Российской Федерации по своему желанию (статья 25 Федерального закона от 15.11.97 №143-Ф3 «Об актах гражданского состояния»), а также принимая во внимание то, что на территории России отсутствует централизованный архив актов гражданского состояния, выдача гражданам Российской Федерации справок, подтверждающих их семейное положение, органами ЗАГС не производится.
Таким образом организации, уполномоченной выдавать справки о семейном положении, на территории России не существует.